K理論1 - kyastelの日記

Grothendieck構成

　 $S$ を可換モノイド（可換単位的半群）とする． $S \times S$ に同値関係 $\sim$ を$$(x,y) \sim (z,w) \ \Leftrightarrow_{\mbox{def}} \ x + w + s= y + z + s\ \ \ (\exists s \in S)$$として入れる． $S \times S$ をこの同値関係で割った空間を $G(S)$ とかき $S$ に対するGrothendiek群という． $(x,y)$ の属する同値類を $x-y$ とかく． $S$ の元 $x$ は $G(S)$ の元 $x-0$ と自然に同一視される．
また $S$ が可換半環のとき $G(S)$ は環構造を持つ．積構造は$$(x-y) * (z -w)= (xz+yw) -(xw+yz)$$で与えられる．

K群： $X$ をコンパクトHausdorff空間とする．Vect( $X$ )を $X$ 上のベクトル束の同型類全体の成す直和に関する可換モノイドとする．Vect( $X$ )に対するGrothendiek群$$K(X) = G(\mathrm{Vect}(X))$$を $X$ のK群という．Vect( $X$ )はテンソル積に関し可換半環となるので実際には $K(X)$ は環構造を持つ．

Bott周期性

K理論でもっとも重要な定理の１つは次の定理である．

Bott周期性： $X$ をコンパクトHausdorff空間とする．任意の直線束 $L \to X$ に対し $P(L\oplus 1) \to X$ を射影束とする． $l = [L$ ]とするとき， $K(X)$ 上の代数として以下が成り立つ． $$ K(P(L \oplus 1)) \cong K(X)[h]\ / \ (h-1)(l h-1).$$特に $X$ が1点のとき $l=1$ より$$K(S^2) \cong \mathbb{Z}[h] \ / \ (h - 1)^2.$$