algebraic toplogy 1 基本群

　J.P.MayのA Concise Course in Algebraic Topologyの自分用勉強ノート．練習問題も解く．

1.1　基本群定義

連続写像のホモトピー： $X,Y$ を位相空間とし $f,g:X \to Y$ を連続写像とする．このとき $f,g$ がホモトピックとは連続写像 $H X \times I \to Y$ が存在し \begin{eqnarray*} H|_{X \times \{0\}} &=& f \\ H|_{X \times \{1\}} &=& g \end{eqnarray*} を満たすことである．ただし $I=[0,1$ ]とする．また $H$ をホモトピーという．

　位相空間 $X$ 上の曲線とは連続写像 $a I \to X$ のことで $a(0) = a(1)$ を満たすとき特に閉曲線という． $x$ を始点とし $y$ を終点とする曲線を$$a:x\mapsto y$$とかく．また $c_x$ を $x$ に値をとる定値写像とする．曲線間のホモトピーにはさらに次の条件を課す．

曲線のホモトピー： 位相空間 $X$ 上の曲線 $a, b: x \mapsto y$ がホモトピックとは連続写像 $H:I \times I \to X$ が存在し \begin{eqnarray*} H|_{I \times \{0\}} &=& a \\ H|_{I\times \{1\}} &=& b \\ H|_{\{0\} \times I} &=& c_x \\ H|_{\{1\} \times I} &=& c_y \end{eqnarray*} を満たすこととする．

　曲線 $a:x \mapsto y, b:y \mapsto z$ に対し，新たな曲線 $a \cdot b$ を $$ a \cdot b(t) = \left\{ \begin{array}{11} a(2t) & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}) \\ b(2t-1) & (\frac{1}{2} \leq t \leq 1) \end{array} \right. $$と定義する．また $a^{-1}: y \mapsto x$ を $$ a^{-1}(t) = a(1-t) $$と定義する．

基本群： $X$ を位相空間， $x \in X$ とする．$$\pi_1(X,x) := \{a:x \mapsto x\}\ /_{\mathrm{homotopy}}$$はwell-defindな演算$$[a] \cdot [b] = [a \cdot b]$$により群となる．これを $X$ の $x$ を基点とする基本群という．単位元は $[c_x$ ]で $[a$ ]の逆元は $[a^{-1}$ ]である．

1.2　基点の取り換え

　 $X$ の同じ連結成分に属する $x,y$ に対し $\pi_1(X,x),\pi_1(X, y)$ の関係を述べる．曲線 $a:x \mapsto y$ に対し準同型 $\gamma(a): \pi_1(X,x) \to \pi_1(X, y)$ を$$\gamma(a)([b])=[a \cdot b \cdot a^{-1}]\ \ \ \ \ ([b] \in \pi_1(X, x))$$と定める．この写像は逆写像 $\gamma(a^{-1})$ を持つので実際には同型写像となる．この $\gamma(a)$ は曲線 $a$ の選び方に依存する．しかし $a,a':x \mapsto y$ がホモトピックならば $\gamma(a) = \gamma(a')$ である．

また $\pi_1(X, x)$ が可換群ならば道の選び方によらない標準的な同型が存在する．実際 \begin{eqnarray*} \gamma(a'^{-1})\circ \gamma(a) ([b]) &=& \gamma(a'^{-1} \cdot a)([b]) \\ &=& [a'^{-1} \cdot a \cdot b \cdot a^{-1} \cdot a'] \\ &=& [a'^{-1} \cdot a] \cdot [b] \cdot [a^{-1} \cdot a'] \\ &=& [a'^{-1} \cdot a] \cdot [a^{-1} \cdot a'] \cdot [b] \\ &=& [b] \end{eqnarray*} より $\gamma(a) = \gamma(a')$ となる．

1.3　ホモトピー不変

連続写像 $p:X \to Y$ は基本群の準同型$$p_*:\pi_1(X,x) \to \pi_1(Y, p(x)),\ \ \ [a] \mapsto [p \circ a]$$を導く．ホモトピックな連続写像 $p,q:X \to Y$ のホモトピーを $h:p \simeq q$ とし， $a=h|_{\{x\} \times I}$ とする．このとき次が成り立つ．

命題： 次の図式は可換である． $$ \xymatrix{ & \pi_1(X,x) \ar[ld]_-{p_*} \ar[rd]^-{q_*} \\ \pi_1(Y, p(x)) \ar[rr]_-{\gamma(a)} & & \pi_1(Y, q(x)) } $$

1.4　 $\pi_1(\mathbb{R}), \pi_1(S^1)$ の計算

$\pi_1(\mathbb{R})= 0$
$\pi_1(\mathbb{S^1})=\mathbb{Z}$

証明： $\mathbb{R}$ の基本群は後に，可縮な空間の基本群は自明であるというより一般的な命題を証明する．従って $S^1$ についてのみ示す．ただし証明の肝となるリフトの一意性に関する部分は後で示されるのでここでは既知とする．互いに逆な２つの写像 \begin{eqnarray*} &i&: \mathbb{Z} \to \pi_1(S^1,1)\\ &j&: \pi_1(S^1, 1) \to \mathbb{Z} \end{eqnarray*} をつくる． $i$ の方は簡単で $i(n)= [f_n$ ]で， $f_n(t) = e^{2 \pi i n t}$ である． $p: \mathbb{R} \to S^1$ を$$p(x) = e^{2\pi i x}$$と定義する．リフトの一意性より $S^1$ 上の任意の閉曲線 $a:1 \mapsto 1$ に対し， $\mathbb{R}$ 上の曲線 $a'$ が一意に存在し$$p \circ a' = a$$を満たす． $j$ を$$j([a]) = a'(1) \in p^{-1}(1)=\mathbb{Z}$$と定義する．この定義がwell-definedであることはより従う． $$ j \circ i (n) = j ([f_n])=n$$ より $j \circ i = \mathrm{id}$ である．従って $j$ は全射である． $j(\lbrack a\rbrack ) = j(\lbrack b\rbrack)$ と仮定する．これは $a'(1) = b'(1)$ である．従って $a'^{-1}\cdot b'$ は $\mathbb{R}$ の原点を始点とする閉曲線である． $\pi_1(\mathbb{R},0)\cong 0$ より $\lbrack a'^{-1}\cdot b'\rbrack = \lbrack c_0 \rbrack$ である．従って $p_*$ で送ると $\lbrack a \rbrack =\lbrack b\rbrack$ となり， $j$ は単射となる．（証明終了）

1.5　Brouwerの不動点定理

$D^2 = \{z \in \mathbb{C} \mid \|z\| \leq 1 \}$ に対し $i:S^1 \to D^2$ を包含写像とする． $D^2$ も可縮なので $\pi_1(D^2)= 0$ となる．

命題： 連続写像 $r:D^2 \to S^1$ で $r \circ i = \mathrm{id}_{S^1}$ を満たすものは存在しない．

証明： $r$ が存在すると仮定する． $(r \circ i)^*= \mathrm{id}_{\pi_1(S^1,1)}$ だが $$ \xymatrix{ \pi_1(S^1,1) \ar[r]^-{i_*} \ar[d]_-{\cong} & \pi_1(D^2, 1) \ar[r]^-{r_*} \ar[d]_-{=} & \pi_1(S^1, 1) \ar[d]_-{\cong} \\ \mathbb{Z} & 0 & \mathbb{Z} } $$ より矛盾．（証明終了）

Brouwerの不動点定理： 任意の連続写像 $f:D^2 \to D^2$ は不動点をもつ．

証明： 不動点を持たない連続写像 $f$ が存在すると仮定する．連続写像 $r:D^2 \to S^1$ を $x \in D^2$ に対し $x$ と $f(x)$ を結ぶ直線と円周の交点の $f(x)$ に近いほうを対応させることで定義する．このとき $r \circ i = \mathrm{id}$ となり矛盾する．（証明終了）

1.6　代数学の基本定理

写像度： 連続写像 $f:S^1 \to S^1$ に対し写像度 $\mathrm{deg}(f) \in \mathbb{Z}$ を以下の写像 $$ \xymatrix{ \pi_1(S^1, 1) \ar[r]^-{f_*} & \pi_1(S^1, f(1)) \ar[r]^-{\cong} & \pi_1(S^1, 1) } $$を用いて$$\pi_1(S^1, 1) \ni \iota \mapsto (\mathrm{deg}(f))\iota \in \pi_1(S^1, 1)$$として定める．注意として $S^1$ の基本群が可換であることより同型は $1$ と $f(1)$ を結ぶ曲線の取り方に寄らない．

　ホモトピックな連続写像 $f,g:S^1 \to S^1$ に対し写像度は一致する．これはホモトピー不変に関する命題から従う．よって $\mathrm{deg}(f)=n$ ならば $f$ は $f_n$ とホモトピー同値である．ここで $f_n$ は$$f_n:S^1 \to S^1,\ \ \ z \mapsto z^n$$であり，定義から $\mathrm{deg}(f_n)=n$ である．

代数学の基本定理： 複素係数多項式$$f(z)=z^n +c_1 z^{n - 1} + \cdots + c_{n-1}z + c_n,\ \ \ n>0$$に対し $f(z)=0$ となる $z \in \mathbb{C}$ が存在する．（従って因数定理より $f(z)=0$ の解の個数は重複を含め $n$ 個ある．）

証明： $f(z)$ の零点が存在しないと仮定する．$$p(z)=\frac{f(z)}{\|f(z)\|}$$とおく． $z \in S^1$ とする．$$\phi(z, t):=p(tz)=\frac{c_n+t(c_{n-1}z + \cdots + t^{n-1}z^n )}{\|c_n+t(c_{n-1}z + \cdots + t^{n-1}z^n )\|}$$は定値写像 $z \mapsto \frac{c_n}{\|c_n\|}$ と $p$ のホモトピーとなる．従って $\mathrm{deg}(f)=0$ ．また$$\psi(z,t):=\frac{p(\frac{z}{t})}{\|p(\frac{z}{t})\|}=\frac{z^n + t(c_1z^{n-1} + \cdots c_nt^{n - 1})}{\|z^n + t(c_1z^{n-1} + \cdots c_nt^{n - 1})\|}$$は写像 $z \mapsto z^n$ と $p(z)$ のホモトピーである．従って $\mathrm{deg}(p)=n$ ．よって矛盾する．（証明終了）

1.7　問題

問題1：複素係数多項式 $f(z)$ が $S^1$ 上に零点を持たないとする．ここで $z \in S^1$ に対し \begin{eqnarray*} p(z)= \frac{f(z)}{\|f(z)\|} \end{eqnarray*} とする．このとき $\|z\| \lt 1$ における重複も含めた解の個数と $\mathrm{deg}(p)$ が一致することを示せ．

解答： $f(z)=c(z-a_1)(z-a_2)\cdots (z-a_n)$ とかける．従って$$p(z)= \prod_{i=1}^n \frac{z-a_i}{\|z - a_i\|}$$である．ここで写像度の以下の性質を用いる．

写像度の性質： 連続写像 $f,g:S^1 \to S^1$ に対し

$$\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}(f) + \mathrm{deg}(g)$$
$$\mathrm{deg}(f \circ g)= \mathrm{deg}(f)\cdot \mathrm{deg}(g)$$

が成り立つ．

これは $f(z)=z^n,g(z)=z^m$ のときを考察することで簡単に示される．従って $$\mathrm{deg}(p)=\sum_{i~1}^n \mathrm{deg}(p_i),\ \ \ \ p_j(z)= \frac{z-a_j}{\|z- a_j\|}$$となる．ここで $\|a_j\|\lt 1$ を満たす $p_j$ は$$\phi(z,t)=\frac{z-ta_j}{\|z -ta_j\|}$$により恒等写像とホモトピックであり写像度 $\mathrm{deg}(p_j)=1$ である．また $\|a_j\| \gt 1$ を満たす $p_j$ は$$\phi(z,t)=\frac{tz-a_j}{\|tz - a_j\|}$$によって定値写像とホモトピックであり， $\mathrm{deg}(p_j)=0$ である．従って題意が示された．（証明終了）