algebraic topology 2 圏論とvan-Kampenの定理
J.P.MayのA Concise Course in Algebraic Topologyの自分用勉強ノート.練習問題も解く.
2.1 圏論
圏: 圏とは対象の集まりと,任意の対象に対し定義される射の集まりの組みで以下を満たすものとする.
- 任意のに対しが存在する.
- 任意の対象に対しが存在し \begin{equation*} f \circ \mathrm{id}_A= f\ \ \ \ \ (\ \forall f \in \mathrm{Mor}(A,\ B)\ ),\\ \mathrm{id}_A \circ g = g\ \ \ \ \ (\ \forall g \in \mathrm{Mor}(B,\ A)\ ). \end{equation*} 任意のに対し$$(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$$ が成り立つ.
例として集合と写像からなる圏と位相空間と連続写像からなる圏と群と準同型からなる圏がある.
2.2 関手
関手: を圏とする.共変関手とは任意の対象に対しと任意のに対しが定義されており,以下を満たす.
- $$F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}\ \ \ \ \ \ (\ \forall A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\ )$$
- $$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)\ \ \ \ \ \ \ (\ \forall f \in \mathrm{Mor}(A,\ B),\ \forall g\in \mathrm{Mor}(B,\ C)\ )$$
圏の反対圏とはかつをで定義される圏とする.圏に対し共変関手のことを反変関手という.