algebraic topology 2 圏論とvan-Kampenの定理

　J.P.MayのA Concise Course in Algebraic Topologyの自分用勉強ノート．練習問題も解く．

2.1 圏論

圏: 圏 $\ \mathcal{C}\$ とは対象の集まり $\ \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\$ と，任意の対象 $\ A,\ B \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\$ に対し定義される射の集まり $\ \mathrm{Mor}(A,\ B)\$ の組みで以下を満たすものとする．

任意の $\ f \in \mathrm{Mor}(A,\ B),\ g \in \mathrm{Mor}(B, C)\$ に対し $\ g \circ f \in \mathrm{Mor}(A,\ C)\$ が存在する．
任意の対象 $\ A\$ に対し $\ \mathrm{id}_A \in \mathrm{Mor}(A,\ A)\$ が存在し \begin{equation*} f \circ \mathrm{id}_A= f\ \ \ \ \ (\ \forall f \in \mathrm{Mor}(A,\ B)\ ),\\ \mathrm{id}_A \circ g = g\ \ \ \ \ (\ \forall g \in \mathrm{Mor}(B,\ A)\ ). \end{equation*}

$\ f \in \mathrm{Mor}(A,\ B),\ g\in \mathrm{Mor}(B,\ C),\ h\in \mathrm{Mor}(C,\ D)\$

　例として集合と写像からなる圏 $\ \mathcal{Set}\$ と位相空間と連続写像からなる圏 $\ \mathcal{Top}\$ と群と準同型からなる圏 $\ \mathcal{Group}$ がある．

2.2 関手

関手: $\ \mathcal{C},\ \mathcal{D}\$ を圏とする．共変関手 $\ F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ とは任意の対象 $\ A \in \mathrm{ob}(\mathcal{C})\$ に対し $\ F(A) \in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ と任意の $\ f \in \mathrm{Mor}(A,\ B)\$ に対し $\ F(f) \in \mathrm{Mor}(F(A),\ F(B))\$ が定義されており，以下を満たす．

$$F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}\ \ \ \ \ \ (\ \forall A \in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})\ )$$
$$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)\ \ \ \ \ \ \ (\ \forall f \in \mathrm{Mor}(A,\ B),\ \forall g\in \mathrm{Mor}(B,\ C)\ )$$

　圏 $\ \mathcal{C}\$ の反対圏 $\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ とは $\ \mathrm{Ob}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}})=\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ かつ $\ \mathcal{C}^{\mathrm{op}}(A, \ B)=\mathcal{C}(B,\ A)\$ をで定義される圏とする．圏 $\ \mathcal{C},\ \mathcal{D}\$ に対し共変関手 $\ F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}$ のことを反変関手という．

自然変換

自然変換: 圏 $\ \mathcal{C},\ \mathcal{D}\$ の共変関手 $\ F,\ G:\mathcal{C} \to \mathcal{D}\$ に対し自然変換 $\ \eta:F \to G\$ とは射の集まり $\ \{\eta_c:F(c) \to G(c)\}_{c \in \mathcal{C}}$ で任意の $\ f \in \mathrm{C}(c,\ d)\$ に対し $$ \xymatrix{ F(c) \ar[r]^-{F(f)} \ar[d]_-{\eta _c} & F(d) \ar[d]^-{\eta _d} \\ G(c) \ar[r]^-{G(f)} & G(d) } $$